正弦定理的证明方法(正弦定理的五种证明方法)

大家好，本篇文章为大家解答以上问题，相信很多人对正弦定理的证明方法都不是特别的了解，因此呢，今天就来为大家分享下关于正弦定理的证明方法以及正弦定理的五种证明方法的问题知识，还望可以帮助大家，解决大家的一些困惑，下面一起来看看吧！

本文目录一览

• 1、如何证明正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC
• 2、正弦定理的证明方法有哪些？

如何证明正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC

正弦定理证明方法
方法1:用三角形外接圆
证明： 任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D. 连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
方法2: 用直角三角形
证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。
方法3：用向量
证明：记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 ∴a/sinA =c/sinC (b与i垂直,i·b=0)
方法4：用三角形面积公式
证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE
即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

正弦定理的证明方法有哪些？

方法1、直接过三角形一顶点如C作对边AB的垂线（设垂线长为h),则sinA=h/b,sinB=h/a,所以，sinA/a=sinB/b，同理可得sinC/c=sinB/b,因此a/sinA=b/sinB=c/sinC
方法2、利用三角形面积公式：S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB,整理即得：
a/sinA=b/sinB=c/sinC
方法3：作三角形的外接圆，过B作边BC的垂线交圆于D，连接CD,因圆周角为直角，则CD长为直径（不妨直径长度设为d)。
因圆周角相等，即角D=角A，
所以sinA=sinD=BC/CD=a/d,同理可证sinB=b/d,sinC=c/d.所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC